FOC 学习笔记(1) - Clarke 变换

为什么要进行矢量控制？

电机可以分为三大类交流异步电机，交流同步电机以及直流电机。对于直流电机有着结构简单，控制简单，可靠性高的优点，另外其启动性能是三种电机中最优的。而通过矢量控制，我们可以在数学/控制模型上将交流电机转化为直流电机，从而使其具有直流电机的优点，并保留自身的优点。

三相电压的笛卡尔表示

相量表示

任意一个不含谐波的三相系统都可以用下述时域方程组描述

{uA=UA⋅cos⁡(ωt+ϕA)uB=UB⋅cos⁡(ωt−23π+ϕB)uC=UC⋅cos⁡(ωt+23π+ϕC)\begin{cases} u_A=U_A\cdot \cos(ωt+\phi_A) \\ u_B=U_B\cdot \cos(ωt-\frac23\pi+\phi_B) \\ u_C=U_C\cdot \cos(ωt+\frac23\pi+\phi_C) \end{cases}

- 平衡三相系统的充要条件

{ϕA=ϕB=ϕCUA=UB=UC\begin{cases} \phi_A = \phi_B = \phi_C \\ U_A = U_B = U_C \end{cases}

将其转换为相量形式(恒定角速度 ω )

{U˙A=UA2⋅ejϕAU˙B=UB2⋅ej(−23π+ϕB)U˙C=UC2⋅ej(23π+ϕC)\begin{cases} \dot{U}_A=\frac{U_A}{\sqrt2} \cdot e^{j\phi_A} \\ \dot{U}_B=\frac{U_B}{\sqrt2} \cdot e^{j(-\frac23\pi+\phi_B)} \\ \dot{U}_C=\frac{U_C}{\sqrt2} \cdot e^{j(\frac23\pi+\phi_C)} \end{cases}

alt text

u(t)=2Re{U˙ejωt}u(t)=\sqrt{2}\mathcal{Re}\{\dot{U}e^{jωt}\}

笛卡尔表示

定义正交单位基向量 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} ，定义电压矢量

U⃗ABC(t)=[uAuBuC]=[UA⋅cos⁡(ωt+ϕA)UB⋅cos⁡(ωt−23π+ϕB)UC⋅cos⁡(ωt+23π+ϕC)]\vec{U}_{ABC}(t)= \begin{bmatrix} u_A \\ u_B \\ u_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_A\cdot \cos(ωt+\phi_A) \\ U_B\cdot \cos(ωt-\frac23\pi+\phi_B) \\ U_C\cdot \cos(ωt+\frac23\pi+\phi_C) \end{bmatrix}

alt text

平衡三相的电压轨迹

对于笛卡尔表示下的平衡三相电压矢量，基于直觉其一个周期内的轨迹应该是圆形。接下来给出完整证明
先来证明其长度恒定：

∥U⃗ABC∥=Ucos⁡2ωt+cos⁡2(ωt−23π)+cos⁡2(ωt+32π)=Ucos⁡2ωt+(cos⁡ωt−32sin⁡ωt)2+(cos⁡ωt+32sin⁡ωt)2=U32sin⁡2ωt+32cos⁡2ωt=32Ut∈R\begin{split} \left \| \vec{U}_{ABC} \right \| &= U \sqrt{\cos^2ωt+\cos^2(ωt-\frac23\pi)+\cos^2(ωt+\frac32\pi)} \\ &= U \sqrt{\cos^2ωt+(\cos{ωt}-\frac{\sqrt3}{2}\sin{ωt})^2+(\cos{ωt}+\frac{\sqrt3}{2}\sin{ωt})^2} \\ &=U \sqrt{\frac32\sin^2ωt+\frac32\cos^2ωt} \\ &=\sqrt{\frac32} U \quad t \in \mathbb{R} \end{split}

接下来证明，其轨迹为圆轨迹。注意到上式在第三步为特定空间的范数，即在特定平面内，其坐标可表示为 (32Ucos⁡ωt,32Usin⁡ωt)(\sqrt{\frac32}U\cos{ωt}, \sqrt{\frac32}U\sin{ωt}) ，即圆轨迹。
综上，原命题得证。

Clarke 变换

常见 Clarke 变换分为两类，功率不变 Clarke 变换与标准 Clarke 变换。其中，标准 Clarke 变换亦称幅值不变 Clarke 变换，不过我个人并不喜欢"幅值不变"这个称呼，其原因在下文中很明确。

本文并不按照当年 Edith Clarke 的思路推导出的变换矩阵。一方面，在其著作 《Circuit Analysis of A-C Power Systems (1943)》 中并没有明确提出 Clarke 变换，只是提出了一种思想\方法。在后人的总结、提炼中逐渐将这种方法细化，才演变为今天的 Clarke 变换。另一方面， Edith Clarke 的思路更倾向一种工程思维，通过构造特定向量来使问题得到化简，我不太喜欢这种构造的方法。事实上，从纯数学/物理直觉上也可以得到同样的结果。

功率不变 Clarke 变换

先给出功率不变 Clarke 变换的结果：这是一个线性空间的纯旋转映射，没有任何的缩放，因此对于三相量来说是功率不变的。接下来开始推导

问题的提出

在很多系统中，三相量自由度是受约束的。或者说，前文我们已经证明了，平衡三相量是一个圆轨迹，其自由度只有 2 。那么在数学上，我们能否使用一种更简单的坐标视角来分析电路？
显然是可以的，我们将其转化为数学语言：易知原正交基向量 a,b,ca,b,c ，与构成时变轨迹圆的向量集合 {v⃗abc∣t ∣ t∈R}\{ \vec{v}_{abc}|_t\ |\ t\in\mathbb{R}\} 。试求一组新的正交基 α,β,0α,β,0 ，使得向量集合 {v⃗abc∣t ∣ t∈R}\{ \vec{v}_{abc}|_t\ |\ t\in\mathbb{R}\} 成为新正交基的两个基向量张成的平面空间的子集。

基向量的求解

先来选择变换后向量空间的基向量，奥卡姆剃刀么，肯定选择最简单的两个向量，即 v⃗abc∣θ=0,v⃗abc∣θ=π2\vec{v}_{abc}|_{\theta=0},\vec{v}_{abc}|_{\theta=\frac{\pi}{2}} 。对于垂直的第三个向量，让他们两个叉乘就好了。

设变换后的三个坐标轴为 α,β,0α,β,0 ，其基向量为 e⃗α,e⃗β,e⃗0\vec{e}_α,\vec{e}_β,\vec{e}_0 。将在 abcabc 坐标下的向量称为 v⃗abc\vec{v}_{abc} ，在 αβ0αβ0 坐标下的向量称为 v⃗αβ0\vec{v}_{αβ0} ，旋转电压向量从 abcabc 到 αβ0αβ0 的投影矩阵为 TCT_C ，即

v⃗abc=TC v⃗αβ0v⃗αβ0=TC−1 v⃗abc\begin{split} \vec{v}_{abc}&=T_C\ \vec{v}_{αβ0} \\ \vec{v}_{αβ0}&=T_C^{-1}\ \vec{v}_{abc} \end{split}

对于基向量，我们有

TC−1e⃗α=v⃗abc∣θ=0∥v⃗abc∣θ=0∥=[cos⁡(θ)cos⁡(θ−23π)cos⁡(θ+23π)]T∣θ=032=23[1−12−12]T\begin{split} T_C^{-1}\vec{e}_α&= \frac{\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=0}}{\left\Vert \left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=0} \right\Vert} \\ &= \frac{\left. \begin{bmatrix} \cos(θ) & \cos(θ-\frac23\pi) & \cos(θ+\frac23\pi) \end{bmatrix}^T \right|_{θ=0}}{\sqrt{\frac32}}\\ &= \sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \end{bmatrix}^T \\ \end{split}

相似的，可以得到第二个正交基向量

TC−1e⃗β=v⃗abc∣θ=π2∥v⃗abc∣θ=π2∥=[cos⁡(θ)cos⁡(θ−23π)cos⁡(θ+23π)]T∣θ=π232=23[032−32]T\begin{split} T_C^{-1}\vec{e}_β&= \frac{\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=\frac\pi2}}{\left\Vert \left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=\frac\pi2} \right\Vert} \\ &= \frac{\left. \begin{bmatrix} \cos(θ) & \cos(θ-\frac23\pi) & \cos(θ+\frac23\pi) \end{bmatrix}^T \right|_{θ=\frac\pi2}}{\sqrt{\frac32}}\\ &= \sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}^T \\ \end{split}

对前两个正交基向量使用叉乘可以得到第三个正交基向量

TC−1e⃗0=v⃗abc∣θ=0×v⃗abc∣θ=π2∥v⃗abc∣θ=0×v⃗abc∣θ=π2∥=23[121212]T\begin{split} T_C^{-1}\vec{e}_0 &=\frac{ {\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=0}} \times {\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=\frac\pi2}} } { \left\Vert {\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=0}} \times {\left.\vec{v}_{abc}\right|_{θ=\frac\pi2}} \right\Vert } \\ &= \sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}^T \\ \end{split}

于是，得到了

TC−1[e⃗α,e⃗β,e⃗0]=23[1−12−12032−32121212]TTC−1Eαβ0=23[1−12−12032−32121212]TTC=23[1−12−12032−32121212]\begin{split} T_C^{-1}[\vec{e}_α,\vec{e}_β,\vec{e}_0] &=\sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}^T \\ T_C^{-1}E_{αβ0}&= \sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}^T \\ T_C&= \sqrt{\frac23} \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix} \end{split}

注意到 TCT_C 是酉矩阵，故 TC−1=TCTT_C^{-1}=T_C^T 。

Clarke 变换的直观看法

在对称分量法中我们已经知道了，任何一个三相系统都可以拆分为正序、逆序与零序。而正序与逆序又是稳态三相量，因此由上文可知任何正序与逆序向量一定落在平面 S:{xa+xb+xc=0}S:\left\{x_a+x_b+x_c=0\right\} 内(即 αβ 平面)；而零序分量是特征向量为 v⃗0=[111]T\vec{v}_0=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T 的一条直线。于是我们知道，全部三相量所张成的空间为 span(v⃗0)⊕Sspan(\vec{v}_0)\oplus S 。

有了上述简要分析后，我们再回头看 Clarke 变换的基向量。其中 e⃗α,e⃗β\vec{e}_α,\vec{e}_β 张成了平面 SS ，而垂直于平面 SS 的向量 e⃗0\vec{e}_0 则等价于 v⃗0\vec{v}_0 。

标准 Clarke 变换(简化形式)

对于一个三相三线系统或任一个平衡系统，存在天然约束 xa+xb+xc=0x_a+x_b+x_c=0 。也就是这一类系统不可能存在零序分量，或者说这一类系统的秩为 2 。因此，将这类系统变换至二维向量不会损失任何信息，但在数学形式上却得到了化简。

该形式在数学上与功率不变 Clarke 变换联系较深，因此先推导该形式。

标准 Clarke 变换，即幅值不变 Clarke 变换。其正交平面基向量的推导过程基本一致，主要的区别是变换之后的三相幅值保持不变。因此，其 αβ0 轴的方向接下来我们来找出这个缩放因子。

我们知道，对于一个标幺三相量来说，其笛卡尔轨迹圆的半径为 32\sqrt{\frac{3}{2}} 。也就是说如果我们希望变换后 α 轴向量与 a 轴向量保持一致的话，那就需要在 abc->αβ0 的变化过程中缩小 32\sqrt{\frac{3}{2}} ，反之放大 32\sqrt{\frac{3}{2}} 。

于是直接给出标准形式的 Clarke 简化变换矩阵

[uαuβ]=23[1−12−12032−32][uaubuc]\begin{bmatrix} u_α \\ u_β \end{bmatrix} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix}

将 xa+xb+xc=0x_a+x_b+x_c=0 带入，进一步得到

[uαuβ]=[101323][uaub]\begin{bmatrix} u_α \\ u_β \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a \\ u_b \end{bmatrix}

以及标准形式的 Clarke 简化反变换矩阵

[uaubuc]=[10−1232−12−32][uαuβ]\begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_α \\ u_β \end{bmatrix}

标准 Clarke 变换

接下来考虑零序分量的缩放，相似的，对于存在单位零序电流时，其在 0 轴上的分量为 3\sqrt3 。于是，正向变幻时需要缩小 3\sqrt3 ，反之则放大 3\sqrt3 。
得到完整形式的标准 Clarke 变换

[uαuβu0]=23[1−12−12032−32121212][uaubuc]\begin{bmatrix} u_α \\ u_β \\ u_0 \end{bmatrix} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac12 & \frac12 & \frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix}

及反变换

[uaubuc]=[101−12321−12−321][uαuβu0]\begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_α \\ u_β \\u_0 \end{bmatrix}

参考文献

  1. A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations
  2. Circuit Analysis of A-C Power Systems (1943)
  3. https://www.cnblogs.com/fortunely/p/18986181

附件