FOC 学习笔记(2) - 直流电机建模

直流电机建模

额，不要问为什么 Clarke 变换之后不是 Park 变换。Park 变换的表达式真是太眼熟了，平面旋转群 SO2 ，当年做机器人位姿解算可没少和这玩意打交道，肝过李群李代数之后 Park 变换的数学含义真是太小儿科了。

于是，本系列笔记的重点从"什么是 Park 变换"变为"为什么要 Park 变换"，核心参考文献当然是祖师爷 Park 的开山之作 《Two Reaction Theory of Synchronous Machines Generalized Method of Analysis》 。

注意：本篇笔记参考了多本教材/文献，默认以英文文献为准。对于初学者建议使用华中科技的电机学教材配合哈理工的网课；需要更详细的数学建模时再阅读英文文献。

直流电机的物理结构

定子

机座

机座有两个作用：

1. 作为主磁路的一部分（磁轭）；
2. 作为电机的结构框架，起到支撑、固定作用。

主磁极和换向极

长期以来，直流电机的定子采用凸极结构，磁极铁芯一般是用钢板冲制、叠压成一整体，套装励磁绕组后用螺钉固定于磁轭上，图20-5（a）为典型的凸极结构。由于凸极结构直流电机的内部空间不能充分利用，以及需要安置电刷、换向器等原因使同中心高直流电机的容量比感应电机的要小许多。机座冲片化，促进了直流电机定子隐极化，图20-5（b）为隐极结构的（冲片）截面图，其将磁轭、主磁极和换向极做成一体，用钢片直接冲制叠压而成。
主磁极的作用是建立主磁场，换向极的作用是改善电机的换向性能，主磁极由磁极铁芯和励磁绕组（field winding）组成。相邻主极之间的分角线称为几何中性线，一般换向极就设置在几何中性线上，换向极绕组与电枢绕组串接，也有一些直流电机不装换向极。

电刷装置

电刷装置是电枢电路的引出或引入装置，由电刷、刷握、刷杆、刷杆架和引线（铜丝辫）等组成，如图20-6所示。电刷与旋转的换向器保持滑动接触，外电路通过引线与电刷相连接。电刷是由电化石墨或金属石墨制成，它放在刷握中，靠弹簧压紧在换向器上，以便可靠导电。

转子

转子（rotor）也被称为电枢（armature），二者等价。

电枢铁芯

电枢铁芯的作用：一是作为主磁路的一部分，二是作为电枢绕组的支撑部件。为了减少铁耗，电枢铁芯用薄硅钢片冲制叠压而成。电枢铁芯表层有均匀分布的齿槽，槽内嵌有电枢绕组。

电枢绕组

电枢绕组是直流电机的电路部分，它是由一定数目的电枢线圈按一定规律连接组成。电枢线圈用漆包铜线绕制，分上下两层嵌入槽内。

换向器

换向器和电刷配合可以实现旋转电枢绕组内部交流电与电刷外部静止电路直流电之间的变换。换向器由许多换向片组成，片与片之间用云母片绝缘，并靠换向片的燕尾槽用机械结构固定或用高强度塑料塑压成整体。图20-9为剖开的换向器结构图。换向器压到轴上后，电枢线圈的端头就焊接到相应的换向片上，构成完整的电枢绕组和完整的直流电机转子组件。

最简直流机的模型

下图为直流电机的最简模型，但凡上个初中应该都知道这货的基本工作原理，这里就不赘述了。现在让我们从定性分析跨入定量分析。

空载情况下的感应电动势

励磁绕组和电枢绕组的电压等式为

$$\begin{aligned} v_f &= r_fi_f+\frac{\mathrm{d}λ_f}{\mathrm{d}t} \\ v_{aa'} &= r_ai_{aa'}+\frac{\mathrm{d}λ_{aa'}}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$$

式中， $r$ 表示电阻，$λ$ 表示磁链。磁链可表示为

$$\begin{aligned} λ_f &= L_{ff}i_f + L_{fa}i_{aa'} \\ λ_{aa'} &= L_{af}i_{f} + L_{aa}i_{aa'} \end{aligned}$$

进行一阶近似，励磁绕组和电枢绕柱之间的互感可以表示关于为 $θ_r$ 的正弦函数 $f(θ_r)$

$$\begin{aligned} L_{af}=L_{fa}&=f(θ_r) \\ &=-L\cos θ_r \end{aligned}$$

- 关于换向

对于电机实物来说，换向不是一个理想过程，必然存在电刷同时连接两个换向器的时刻，即将临近换向器短路的时刻。因此我们希望转子换向发生在感应电动势最小的时刻，即导体切割方向平行于磁场方向（电刷在几何中性线上）。此时产生感应电动势为 0 ，即便没有电刷换向器自身也处于短路状态。

当电机空载稳态运行时，电枢电流 $i_{aa'}$ 为 $0$ ，励磁电流 $i_f$ 为直流量，电枢转速 $ω_r=\frac{\mathrm{d}θ_r}{\mathrm{d}t}$ 恒定。 可解得

$$v_{aa'}=-ω_rLI_f\sin θ_r$$

不难发现这是一个关于转子角度 $θ_r$ 的函数 $v_{aa'}=f(θ_r)$ 。其中过零点即为换向的时刻。

显然不是很直流，为此将相同形状的波形进行平移并叠加后会得到更加平稳的波形（物理上通过将不同位置的线圈串联得到）。相关内容不展开了，详见各教材的绕组一章。

- 证明过程

这一段可以跳过，纯闲的，读瘾犯了，就是很想给出叠加之后近似于直流的证明。感觉蛮直观的，但是给出严谨数学上的证明似乎有点麻烦。接下来给出严谨证明

先给出数学化的问题描述：
设函数 $f(t)$ 的周期为 $T$，存在常数 $t_n=nt_1<T$ 且 $n=0,1,2,3,\dots,N$ 。试证明

$$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} f(t-t_n)=C$$

嗯~ o(￣▽￣)o，舒服多了。化简符号，记 $f(t-t_n)$ 为 $f_n(x)$ 。进行傅里叶变换

$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}\ ,\ \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$$

叠加后

$$\begin{aligned} g(t) &= \sum_{n=0}^{N} f(t-t_n) \\ &= \sum_{n=0}^{N} \left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 (t-t_n)} \right) \\ &= \sum_{n=0}^{N} \left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}e^{-jk\omega_0 t_n} \right) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \ a_k e^{jk\omega_0 t}\sum_{n=0}^{N}e^{-jk\omega_0 t_n} \end{aligned}$$

注意到与原式相比多出了一部分，这部分表示在频点 k 下的各平移分量 n 叠加后对原频点系数的加权，记

$$S_k = \sum_{n=0}^{N}e^{-jk\omega_0 t_n}=\sum_{n=0}^{N}e^{-j\frac{2k\pi}{T} n\frac{T}{N}}=\sum_{n=0}^{N}e^{-j\frac{2k\pi}{N} n}$$

又易知这是一个关于 n 有限长等比求和级数，解得

$$S_k = \frac{1-e^{-j2k\pi n}}{1-e^{-j\frac{2k\pi}{N} n}}$$

显然，由欧拉公式易知 $e^{-j2k\pi n} =1$ ，故当分母不为 0 时，上式为 0 。而当分母为零时，说明频点 k 是份数 N 的整数倍。整理得到

$$S_k = \begin{cases} N, &k=0,\pm N, \pm 2N, \cdots \\ 0, &\mathrm { other } \end{cases}$$

这说明只留下了 $N,2N,3N\dots$ 次谐波，其余谐波全部清除。当叠加的份数越多，即 N 越大时，起始的交流成分频率越高，当 $N \to \infty$ 时，只剩下了直流成分。
Q.E.D.

这其实是一个梳状滤波器，类似于同一个正弦波相位相差 $π$ 后所产生的波峰波谷相抵消。

在我们对换向的讨论中，假设电枢电流为零。有了这个约束，当线圈与场磁通正交时，每个电枢线圈中感应的正弦电压穿过零。因此，换向器的布置使得当电枢线圈与场磁通正交时发生换向。但是当电流在电枢绕组中流动时，由此产生的磁通位于与励磁磁通正交的轴上。因此，由于“切割”其他电枢线圈中流动的电流所建立的磁通，将使得正在换向的电枢线圈中将感应出电压。电刷处会产生电弧，即使电枢电流相对较小，电刷和铜片也可能被损坏。虽然直流电机的设计不是本文的主题，但值得一提的是，通过根据电枢电流机械地移动电刷的位置或通过换向极，可以显著减少电刷电弧。
换向极是放置在换向绕组线圈侧上的小型定子极，位于大马力机器主极之间的中间。间极的作用是抵抗短路线圈区域中电枢电流产生的磁通。由于该区域中产生的磁通是电枢电流的函数，因此希望使间极产生的磁通成为电枢电流的函数。这是通过在极间缠绕几匝承载电枢电流的导体来实现的。从电气角度来说，极间绕组位于电刷和端子之间。通过稍微增加电枢电阻和电感（$r_a$ 和 $L_{aa}$），可以在电压方程中对其进行近似。

直流电机的磁场

上文中我们讨论了简单情况下的直流电机的电动势直流电机负载运行时的磁场由励磁电流和电枢电流共同建立，情况比较复杂，因此分开考虑再叠加处理。

直流电机的空载磁场

首先分析直流电机的空载磁场，即电枢电流为零时，仅由励磁电流建立的励磁磁场，也称主磁场。

磁通与磁动势

空载时电机中的磁场分布是对称的，磁通可分为两部分，其中绝大部分从主极铁芯经气隙、电枢，再经过相邻主极下的气隙和主极铁芯，最后经定子磁轭闭合，同时交链励磁绕组和电枢绕组，在电枢绕组中感应电动势，实现机电能量转换，该部分磁通称为主磁通；另一小部分不穿过气隙进入电枢，而是经主极间的空气或定子磁轭闭合，不参与机电能量转换，该部分磁通称为漏磁通。每极主磁通记为 $Φ_0$ ，漏磁通记为 $Φ_σ$ 。通过每个主极铁芯中的总磁通 $Φ_m$ 为

$$Φ_m=Φ_0+Φ_σ=Φ_0(1+\frac{Φ_σ}{Φ_0})=k_σ Φ_0$$

一般称上式中的 $(1+\frac{Φ_σ}{Φ_0})$ 为主级漏磁系数，记作 $k_σ$ ，通常在 1.15~1.25 范围内。

每对极励磁磁动势为

$$F_0=\oint\vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=2I_fN_f$$

主磁场分布

设电枢表面光滑无齿，气隙磁动势为 $F'_δ$ ，设 $x$ 处的气隙长度 $δ(x)$ 和气隙磁密 $B_0(x)$ ，则有

$$B_0(x)=\frac{μ_0\ F'_δ}{δ(x)}$$

易知，气隙长度 $δ(x)$ 与气隙磁密 $B_0(x)$ 成反比。由于主极下的气隙是不均匀的，且极靴宽度小于极距，故气隙磁密在一个极下的分布规律如图所示，通常为一平顶波。
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磁化曲线

直流电机的磁化曲线是指电机的主磁通与励磁磁动势的关系曲线 $Φ_0=f(F_0)$ ，

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磁化曲线的起始部分几乎是一条直线，这是因为主磁通很小时，磁路中的铁磁部分没有饱和，所需磁势远较气隙中的小得多，$Φ_0$ 与 $F_0$ 的关系几乎也就是 $Φ_δ$ 与 $F_δ$ 的关系，而后者是线性关系，故显示为直线。

把磁化曲线的起始直线延长，即为电机的气隙磁化曲线 $Φ_0=f(F_δ)$ ，简称气隙线，可用于非饱和分析。直线段往后，随着 $Φ_0$ 的增大，磁通密度不断增加，铁磁部分逐渐步入饱和，磁导率急剧下降，所需磁动势 $F_{Fe}$ 显著增长，磁化曲线偏离气隙线而弯曲，最后进人深度饱和。

电机磁路的饱和程度，以电机额定转速下空载运行时产生额定电枢电压所需磁动势 $F'_0$ 与同一磁通下气隙线上的磁动势 $F'_δ$ 的比值来表示，称为饱和系数 $k_μ$

$$k_μ=\frac{F'_0}{F'_δ}=1+\frac{F_{Fe}}{F'_δ}$$

式中， $k_μ$ 为饱和系数。一般电机 $k_μ\in [1.1,1.35]$。饱和系数的大小对电机的运行性能和经济性有重要影响，因此，为了最经济地利用材料，电机的额定工作点一般设计在磁化曲线开始弯曲的所谓“膝点”附近。

磁化曲线的横坐标有时不用 $F_0$ 而用 $I$ 表示，它们之间只差一个与励磁绕组匝数有关的比例系数。此外，纵坐标也可以用空载时的电枢电压 $U$ 代替，当电机转速恒定时，$U$ 与 $Φ_0$ 之间也只相差一个与电枢绕组匝数有关的比例系数。故函数 $U=f(I_f),\ Φ_0=f(I_f), U=f(F_0)$ 等均为线性变换的等价关系。

直流电机的负载磁场

当电机有负载、电枢绕组中有电流通过时，该电流也会在电机中产生磁场，称之为电枢磁场。下面分电刷放在几何中性线和偏离几何中性线两种情况对该磁场进行分析。

电刷在几何中性线上

设电枢绕组是整距的，即同槽上、下元件边的电流同方向。由于电刷在换向器表面的位置与主极轴线重合，即被电刷短路的元件边在电枢的几何中性线上，因此，为画图方便，省去换向器，就可以将电刷直接画在电枢表面被电刷短路的元件边所在的位置，亦即电枢几何中性线上。

这是工程上习惯采用的简易画法，我们在前面介绍直流电机的励磁方式时实际上已经采用过，只是没有特别说明罢了。总之，电刷的这种正规的放置方法习惯上称之为“在几何中性线上”。

单独考虑电枢磁场。图2.35（a）所示中为根据右手螺旋定则电枢电流所建立的磁场的分布情况。将电枢沿左侧几何中性线处展开成直线，画出电刷和主极，以主极轴线与电枢表面的交点为原点o，如图2.35（b）所示。在一极距范围内，取距原点为十x和一x的两点形成一矩形回线。该回线包围的总电流数为2xNai/πDa，N为电枢导体数，i为导体电流，D。为电枢外径。由全电流定律可知，这也就是消耗在该回线各段磁路上的总的磁动势。设铁磁材料中的磁压降忽略不计，即全部磁动势都消耗在两个气隙上，则x处的电枢磁动势为

参考文献

1. Two Reaction Theory of Synchronous Machines Generalized Method of Analysis-Part I
2. Two-reaction theory of synchronous machines-II
3. 《ANALYSIS OF ELECTRIC MACHINERY AND DRIVE SYSTEMS》
4. 《电机学》