FOC 学习笔记(0) - 基础知识

对称分量法（Symmetrical Components）

对称分量法是一种将不对称三相系统中的电压、电流相量转化为三组对称系统中的电压、电流向量。这样就可把电力系统不平衡的问题转化成平衡问题进行处理。

相序

设一三相系统 ABC ，激励电压满足

\begin{align*} u_A&=U_m\cdot cos(ωt) \\ u_B&=U_m\cdot cos(ωt-120°) \\ u_C&=U_m\cdot cos(ωt+120°) \end{align*}

此时，到达最大值的顺序为 $A\rightarrow B\rightarrow C$ ，称该方向为正序。或者说从合成矢量上来看，其旋转方向为顺时针的激励矢量称为正序。

相类似的，当旋转方向为逆时针时，称为负序；不旋转的向量(三相同相的直流分量)称为零序。

翻了一下 HIT 827 笔记，是有相关内容的。菜猪🐷

旋转方向具有三种可能的情况正序(顺时针)，零序(静止)，负序(逆时针)。

任一三相量的分解

以三相电流为例，设电流量为 $\dot{I}_x$ ，我们希望能得到一个符合直觉的表达式：

\left\{\begin{matrix} \dot{I}_A = \dot{I}_{A0} +\dot{I}_{A+} + \dot{I}_{A-} \\ \dot{I}_B = \dot{I}_{B0} +\dot{I}_{B+} + \dot{I}_{B-} \\ \dot{I}_C = \dot{I}_{C0} +\dot{I}_{C+} + \dot{I}_{C-} \end{matrix}\right.

很简洁、直观，但是任一三相量能否被唯一表示成三组稳态三相量呢？接下来给出证明，记旋转因子 $e^{j120\degree}$ 为 $a$ ，于是上式可写为矩阵形式

\begin{bmatrix} \dot{I}_A\\ \dot{I}_B \\ \dot{I}_C \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} I_0 \\ I_+ \\ I_- \end{bmatrix}

记系数矩阵为 $\mathcal{A}$ ，计算行列式

\begin{align*} |\mathcal{A}| &=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a^2-1 & a-1 \\ 0 & a-1 & a^2-1 \end{vmatrix} \\ &=(a^4-2a^2+1)-(a^2-2a+1) \\ &=-3a^2+3a \\ &=3(1+2a) \\ &=j\cdot 3\sqrt{3} \end{align*}

1+a+a^2=0

可知矩阵非奇异，于是一定是可逆的。现在问题变为

\begin{bmatrix} I_0 \\ I_+ \\ I_- \end{bmatrix} = \mathcal{A^{-1}} \begin{bmatrix} \dot{I}_A\\ \dot{I}_B \\ \dot{I}_C \end{bmatrix}

试求 $A^{-1}$ 。

emmmmm，复矩阵求逆有点超纲，直接从工程/逻辑上进行推导。

易知稳态三相电流之和为 0 且已知任一三相电流必然可表示成零/正/负序电流之和。因此，对于直流分量易得

I_0=\frac13 (\dot{I}_A+\dot{I}_B+\dot{I}_C)

与上述直流相类似，如果能将正序电流矢量转化为一个直流量就可以得到表达式了。为此，我们使用旋转因子将 B,C 两相旋转至 A 相。同时，注意到这一操作将负序 B,C 两相调换位置变为了正序，但矢量和依然为 0 ；直流量变为稳态三相矢量，其和也为 0 。

I_+=\frac13 (\dot{I}_A+a\dot{I}_B+a^2\dot{I}_C)

类似的，易得负序表达式。

I_+=\frac13 (\dot{I}_A+a^2\dot{I}_B+a\dot{I}_C)

于是，我们得到

A^{-1}= \frac13 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}

关于

A

+ $A$ 是三相系统的 Fourier 模态基变换矩阵（DFT矩阵），而 Fourier 基底天然线性无关，因此可逆。
+ $A^{-1}$ 是基向量 $ω_+,ω_-$ 进行交换的结果，因此导致了正序，负序列向量产生了位置交换与共轭转置。而 $\frac{1}{3}$ 则是 DFT 的正交归一化尺度，即对于点数为 n 的 DFT 矩阵有 $AA^H=nE$ 。