磁元件

对电感及变压器的理解贫穷到令人发指。mmp 当时就不应该一天速通电磁场考试，现在流的泪都是当时脑子里进的水啊😭。

引理

法拉第电磁感应定律

设空间中存在一时变磁场 B(t)B(t) ，其在空间中一时变曲面 Σ(t)Σ(t) 上形成的磁通量 Φ(t)Φ(t) 的积分定义形式为

Φ(t)=∬Σ(t)B(r,t) dAΦ(t)=\iint_{Σ(t)}B(\mathbf{r},t)\ d\mathbf{A}

设空间闭合曲面存在开口，且其边界曲线为 ∂Σ(t)\partialΣ(t) 。对于电路元件，其开曲面不随时间变化，则对时间偏导存在

∂Φ(t)∂t=∮∂Σ∂B(r,t)∂t dA=−E\frac{\partialΦ(t)}{\partial t} =\oint_{\partialΣ}\frac{\partial B(\mathbf{r},t)}{\partial t} \ d\mathbf{A}=-\mathcal{E}

负号体现了楞次定律。

此时自变量只有时间，退化为一元函数，上式可写为

E=−dΦdt\mathcal{E}=-\frac{dΦ}{dt}

当磁通量改变时，一单位电荷在闭合曲线 ∂Σ∂Σ 上移动一周所做的功为 E{\displaystyle {\mathcal {E}}} ，即感应电动势。上述式子即为法拉第电磁感应定律：任何封闭电路中感应电动势大小，等于穿过这一电路磁通量的变化率。

磁链

法拉第定义磁链为电压对时间的积分

Ψ=∫v dtΨ=\int v\ dt

带入感应电势易得

Ψ=NΦΨ=NΦ

偷懒😝，直接写成匝数为 N 的情况哩。

电感参数的理想模型

电感参数的推导

对于一个由单一线圈构成的绕组，其磁通量可由上述法拉第电磁感应定律描述。

易知，当有 NN 个线圈串联时(即匝数为 NN 的电感)，其感应电势为

E=−NdΦdt\mathcal{E}=-N\frac{dΦ}{dt}

但在电路中，我们关心的是感应电动势与电流的关系。因此需要对上式进行简单变形

E=−NdΦdididt\mathcal{E}=-N\frac{dΦ}{di}\frac{di}{dt}

记 L=NdΦdiL=N\frac{dΦ}{di} ，则电感两端的电压即可表达为常见的形式

u=−E=Ldidtu=-\mathcal{E}=L\frac{di}{dt}

由量纲分析可知，亨利的物理意义为电流变化时所引起的电压变化，即

1 H=1 V1 A/s1\ H=\frac{1\ V}{1\ A/s}

由磁链定义的电感参量

将电感参量的定义式看作一阶微分方程，分离变量并对两边进行积分后易得

L=NΦI=ΨIL=\frac{NΦ}{I}=\frac{Ψ}{I}

通电螺线圈的感量模型

设匝数为 NN 的螺线管的截面积为 AA ，每圈的周长为 ll ，使用安培环路定律给出磁通表达式

Φ=BA=(μNIl)A\begin{align} Φ & = BA \\ & = (\frac{μNI}{l})A \end{align}

带入感量计算公式，得

LSolenoid=μN2AlL_{Solenoid} = \frac{μN^2A}{l}

电感的现实模型

现实中的电感等效模型如下所示

除了理想电感性质外，其导线也包含等效的电阻性质 R 。不过要注意的是，在高频下线圈会引入额外的交流电阻。并联电容来自于线圈之间的分布电容，并联电阻来自于磁芯的涡流损耗与磁滞损耗。

交流电阻的来源：趋肤效应，涡流效应，邻近效应。

因此，实际的电感器件，在较低频率下表现为感性，随着频率的增长逐渐变为容性。其转折点处的频率会产生为自激振荡。其伯德图如下所示

电感的耦合

互感量

如下图所示，空间中一时变电流 i1i_1 沿闭合曲线 C1 运动时，产生的磁链通过闭合曲线 C2 ，并在 C2 上激发出感应电动势。激发电流与磁链存在一种线性关系

Ψ2=Mi1u2=Mdi1dt\begin{align} Ψ_2 &= Mi_1 \\ u_2 &= M\frac{di_1}{dt} \end{align}

这种线性的相互作用被称为互感。接下来给出证明。

纽曼公式

纽曼公式给出了两个任意闭合载流回路之间的互感关系。
根据电感的公式，拓展为互感定义

M=Φ2i1M=\frac{Φ_2}{i_1}

显然，穿过闭合路径 C2C_2 的磁通量 Φ2Φ_2 可以由以 C2C_2 为边界的任意闭合曲面 S2S_2 对闭合电流 i1i_1 激发的空间磁场 B1B_1 积分得到，即

Φ2=∫S2B1(X2,t) da2Φ_2 = \int_{S_2}B_1(\mathbf{X_2},t)\ d\mathbf{a_2}

因为这里本身有一个第二类曲面积分，如果使用毕奥-萨伐尔定律带入磁场强度，就会出现环路积分外套面积分，没得玩。所以这里引入磁矢式 B=∇×AB=\nabla \times A 进行计算，使用斯托克斯公式得

Φ2=∮C2A1(X2,t) dl2Φ_2 = \oint_{C_2}A_1(\mathbf{X_2},t)\ d\mathbf{l_2}

磁矢式定义为

A1(X2,t)=μ0i14π∮C1dl1∣X2−X1∣A_1(\mathbf{X_2},t)=\frac{μ_0i_1}{4\pi}\oint_{C_1}\frac{dl_1}{|\mathbf{X_2}-\mathbf{X_1}|}

带入感量定义式并化简得

M21=Φ2i1=μ04π∮C1∮C2dl1⋅dl2∣X2−X1∣M_{21}=\frac{Φ_2}{i_1}=\frac{μ_0}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{d\mathbf{l_1}\cdot d\mathbf{l_2}}{|\mathbf{X_2}-\mathbf{X_1}|}

注意到，路径 C1,C2C_1,C_2 得对称关系，易知 M12=M21=MM_{12}=M_{21}=M 。

自感与互感

设两理想电感器 L1,L2 。若电感器之间的磁场会产生相互影响，则称其产生了耦合。
设两电感器通入电流时，电感器 L1 的磁链为 Ψ1Ψ_1 。若存在耦合，则 Ψ1Ψ_1 显然由两电感共同提供，我们称电感 L1 流经电流 i1i_1 时，对自身的磁链的贡献系数为自感，即自身的感量 L1L_1 ；而电感 L2 流经电流 i2i_2 时，对 L1 的磁链贡献系数为互感，记作 M12M_{12} 。于是可得

Ψ1=Ψ11+Ψ12=L1i1±Mi2Ψ_1=Ψ_{11}+Ψ_{12}=L_1i_1 \pm Mi_2

同名端及耦合电感的化简这里不展开。可查询 HIT 827 相关笔记。

耦合系数

使用互感磁通与自感磁通的比值来描述耦合的紧密程度（以 L1 为例）

∣Ψ12∣Ψ11=Mi2L1i1\frac{|Ψ_{12}|}{Ψ_{11}}=\frac{Mi_2}{L_1i_1}

两线圈流入单位电流时，该比值越大其耦合越紧密。工程上，定义两个线圈比值的几何平均数为耦合因数 kk ，即

k=ML!L2k=\frac{M}{\sqrt{L_!L_2}}

使用几何平均数是为了消去 i1,i2i_1,i_2 。

电感器的设计

暂时还没用到，因此不做记录。参考《实用电子元器件与电路基础》 P97-P101 。